Intervalo de confianza para la Media poblaciones μ

Intervalo  de  confianza  para  la  Media poblaciones  μ

 Intervalo de Confianza para la Media Poblacional (Varianza Poblacional Conocida):

    Cuando la varianza poblacional (

${�}^2$

) es conocida, se utiliza la distribución normal estándar (z) para construir un intervalo de confianza para la media poblacional (

$�$

$\overline{�}\pm �\left(\frac{�}{\sqrt{�}}\right)$

±z(

n

​

σ​

)

donde:

• $\overline{�}$
  es la media muestral.
• $�$
• $�$
• $�$

Intervalo de Confianza para la Media Poblacional (Varianza Poblacional Desconocida):

    Cuando la varianza poblacional (

${�}^2$

) es desconocida, se utiliza la distribución t de Student para construir el intervalo de confianza. El intervalo de confianza se calcula de manera similar al caso anterior, pero con la desviación estándar muestral (

$�$

$\overline{�}\pm �\left(\frac{�}{\sqrt{�}}\right)$

±t(

n

​

s​

)

donde:

• $\overline{�}$
  es la media muestral.
• $�$$�-1$
• $�$
• $�$

Teoría:

    Ambos intervalos de confianza se basan en la idea de que, bajo ciertas condiciones, la media muestral (

$\overline{�}$

) seguirá una distribución normal. La elección del intervalo de confianza y el valor crítico dependen del nivel de confianza deseado y la distribución utilizada (normal o t de Student).

Ejemplo Aplicado a Ingeniería:

    Supongamos que un ingeniero está interesado en estimar la resistencia media de un material utilizado en la construcción. Se toma una muestra de 30 especímenes y se mide la resistencia de cada uno. Si la desviación estándar poblacional es conocida (

$�$

    Por ejemplo, si se encuentra que la resistencia media muestral es de 100 MPa y la desviación estándar poblacional es de 10 MPa, y se desea un intervalo de confianza del 95%, el intervalo de confianza sería:

$100\pm 1.96\left(\frac{10}{\sqrt{30}}\right)$

100±1.96(

30

​

10​

)

    Esto proporcionaría un rango dentro del cual se espera que se encuentre la verdadera resistencia media con un 95% de confianza. Si la varianza poblacional no es conocida, se usaría la distribución t de Student y el intervalo de confianza se calcularía de manera similar, pero con la desviación estándar muestral. Este tipo de análisis es crucial en ingeniería para tomar decisiones informadas sobre materiales y procesos de construcción.