En estadistica los intervalos de confianza son elementos que se utilizan para el calculo y una forma de expresar la certeza o la incertidumbre de un numero estimado. Esto se resume como un intervalo entre un rango de valores establecido donde se espera obtener el resultado real de una población con una cierta cantidad de confianza en dicho valor.
El intervalo de confianza global por otro lado, es la media de una estimación considerando el valor menor variable y el valor mayor variable que se encuentre dentro del intervalo establecido entre ambos valores. Este nivel de confianza siempre ronda entre los porcentajes de entre 95% y 99%. Este intervalo de confianza se relaciona directamente con el margen de error que experimentaría el proceso de investigación de una población cuyo objetivo sea por ejemplo obtener el valor objetivo y recibir la misma respuesta que los miembros de la muestra dieron en la encuesta.
Establecer un intervalo de confianza es importante en términos de probabilidad y certeza. La fórmula expuesta anteriormente permite a los responsables de una encuesta estimar con un alto grado de exactitud el grado de reproducción de los resultados y las expectativas.
Los intervalos de confianza se representan como una campana de Gauss de forma recurrente puesto que al utilizarse para medir un espectro poblacional al concentrar datos en un punto central de la grafica que se determina como la media con su correspondiente margen de error.
Intervalo de confianza para la Media poblaciones μ
Intervalo de Confianza para la Media Poblacional (Varianza Poblacional Conocida):
Cuando la varianza poblacional (
σ
2
) es conocida, se utiliza la distribución normal estándar (z) para construir un intervalo de confianza para la media poblacional (
μ). El intervalo de confianza se calcula como:
xˉ
±z(
n
σ
)
donde:
xˉ
es la media muestral.
z es el valor crítico de la distribución normal estándar que corresponde al nivel de confianza deseado.
σ es la desviación estándar poblacional.
n es el tamaño de la muestra.
Intervalo de Confianza para la Media Poblacional (Varianza Poblacional Desconocida):
Cuando la varianza poblacional (
σ
2
) es desconocida, se utiliza la distribución t de Student para construir el intervalo de confianza. El intervalo de confianza se calcula de manera similar al caso anterior, pero con la desviación estándar muestral (
s) en lugar de la desviación estándar poblacional:
xˉ
±t(
n
s
)
donde:
xˉ
es la media muestral.
t es el valor crítico de la distribución t de Student que corresponde al nivel de confianza deseado y los grados de libertad (
n−1).
s es la desviación estándar muestral.
n es el tamaño de la muestra.
Teoría:
Ambos intervalos de confianza se basan en la idea de que, bajo ciertas condiciones, la media muestral (
xˉ
) seguirá una distribución normal. La elección del intervalo de confianza y el valor crítico dependen del nivel de confianza deseado y la distribución utilizada (normal o t de Student).
Ejemplo Aplicado a Ingeniería:
Supongamos que un ingeniero está interesado en estimar la resistencia media de un material utilizado en la construcción. Se toma una muestra de 30 especímenes y se mide la resistencia de cada uno. Si la desviación estándar poblacional es conocida (
σ), se puede utilizar un intervalo de confianza basado en la distribución normal.
Por ejemplo, si se encuentra que la resistencia media muestral es de 100 MPa y la desviación estándar poblacional es de 10 MPa, y se desea un intervalo de confianza del 95%, el intervalo de confianza sería:
100±1.96(
30
10
)
Esto proporcionaría un rango dentro del cual se espera que se encuentre la verdadera resistencia media con un 95% de confianza. Si la varianza poblacional no es conocida, se usaría la distribución t de Student y el intervalo de confianza se calcularía de manera similar, pero con la desviación estándar muestral. Este tipo de análisis es crucial en ingeniería para tomar decisiones informadas sobre materiales y procesos de construcción.
